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同济大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题

1．f(x)是周期为2的函数，在区间[ 1,1]上，f(x) |x|，则f(2m ) ___(m为整数)． 2．函数y cos2x 2cosx,x∈[0,2 ]的单调区间是__________________． 3

．函数y 2__________________．

4．

5．函数y＝f(x)，f(x+1) f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y 6．

7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是． 8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O

影，则M点坐标是_________，CN与DM9．双曲线x2 y2＝1上一点P___________．

22xy 1在第一象限上一点P(x0,y0)10．椭圆

3

2

43

与坐标轴所围成的三角形的面积是二、解答题

11都成立，求k的取值范围． 12131

a,b,c的关系；(2) 若f(1) ，求f(x)的解2

求y的最小值；(2) 求取得最小值时的 ．

C C1 1

n

14E从A1出发沿棱A1AA

1的平面截三棱柱所得15(1) 若bn＝an an 1求bn；(2) 求

A1

1

b；(3) 求lima

ii 1

n

n

．

16．抛物线y2＝2px，(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求|AB|．(2) 是否存在正方形

ABCD，使C在抛物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？