选修4-1《几何证明选讲》综合复习题(6)

【解析】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h．

SAD111

S△ADC AD h,S△BDC BD h,S△ABC AB h,所以△ADC ，

S△ABCAB222

S△BDCBD

S△ADCAD

SSADBD

又因为点D为边AB的黄金分割点，所以有．因此△ADC △BDC．

S△ABCS△ADCABAD

所以，直线CD是△ABC的黄金分割线.

1

(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时s1 s2 s,即

2

s1s2

，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. ss1

(3)因为DF∥CE,∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,所以有S△DEC S△FCE

设直线EF与CD交于点G．所以S△DG ES△．所以FS△AD C四边形SAF △S FGD

S四边形AFGD S△DGE S△AEF，S△BDC S四边形BEFC．

S△AEFS四边形BEFCS△ADCS△BDC

又因为，所以 S△ABCS△AEFS△ABCS△ADC

E M 因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线． E M

（第22题答图1）

（第22题答图2） (4)画法不惟一，现提供两种画法；

画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB,DC于M,N点,则直线MN就是 ABCD的黄金分割线．

画法二:如答图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是 ABCD的黄金分割线．