选修4-1《几何证明选讲》综合复习题(4)

已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,

AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于

点E．求证：(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC＝AE·BD． 【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC ∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD， ∴DE·DC＝AE·BD. 20.(本小题满分12分)

如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE PF．

【解析】连结PC,易证PC PB, ABP ACP ∵CF//AB ∴ F ABP,从而 F ACP 又 EPC为 CPE与 FPC的公共角,

CPPE第20题图 从而 CPE FPC,∴ ∴PC2 PE PF FPPC

又PC PB, ∴PB2 PE PF,命题得证. 21.(本小题满分12分)

如图,A是以BC为直径的 O上一点,AD BC过点B作 O的切线,与CA的延长线相交于点E，G的中点,连结CG并延长与BE相交于点F, 延长AF与CB的延长线相交于点P. (1)求证:BF EF；

(2)求证:PA是 O的切线；

解答用图

C

(3)若FG BF,且

O的半径长为求BD和FG的长度. 第21题图

【解析】(1)证明：∵BC是 O的直径，BE是 O的切线， ∴EB BC．又∵AD BC，∴AD∥BE．

易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFCFEFCFBFEF

．∴． ∴

DGCGAGCGDGAG

∵G是AD的中点，∴DG AG．∴BF EF． (2)证明：连结AO，AB．∵BC是 O的直径，

在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE∴AF FB EF．∴ FBA FAB．又∵OA ∵BE是 O的切线，∴ EBO 90°．

∵ EBO FBA ABO FAB BAO FAO 90°，∴PA是 O的切线．

(3)解：过点F作FH AD于点H．∵BD AD，FH AD，∴FH∥BC． 由(1)，知 FBA BAF，∴BF AF．

由已知，有BF FG，∴AF FG，即△AFG是等腰三角形．

C