2014挑战中考数学压轴题2.1由比例线段产生的函数

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例1 2013年宁波市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作

⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．

①求证：∠BDE＝∠ADP；

②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三

角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存

在，请说明理由．

动感体验

请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．

请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．

答案

（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．

（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；

②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，

因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．

所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF

是等腰直角三角形．于是得到y．

图2 图3 图4

（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：

由△DMB∽△BNF，知BN 1DM 2． 2

2． 3设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得m

因此D(0,)．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．

②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．

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