4

28.解一

2

3

、 J

<1 -4

(A -2E ) ■1

= 1 -1 0 = 1 -5 仝 2 V 6 4」

<1 -4 <4 2 3暑

-8 -6 = 所以 B =(A - 2E )■ 1

A = 1 -5

1 1 0 =

2 -9 -6 6 4> <-1 2 37

c-2 12 9>

<-2 1 3 0 /Q -5 3 —2) 0 3 1 0 .3

0 2 -1 -1 4 9丿

0 10

解二考虑a 4=X 1 a

1 13 0 1 -1 -1

2 12丿 1 8

-14 5】 2 8 —14丿 6

0 0 .0 0 1 0 0 3 1 1 0

5、

2 1

丿

所以 a 4=2 a

组合系数为 (2,

1, 1)

1+X 2

a 2+X 3 a 3，即

卩

『-2X 1 +X 2 +3X 3 =0

X 1 —3X 2 =-1 匕2 + 2X 3 =4 3X 1 + 4X 2 -X 3 =9.

方程组有唯一解（2, 1, 1） 29.解对矩阵A 施行初等行变换 6 -2 -1 0 2 " A -2

0 2、

<1 -2 -1 0 2 " 0 0 0 6 -2 -- ? 0 3 2 8

£

0 3 2 8 -3

0 3 2 8 -2 0 0 0 6

-2

0 0 0 3 -1 0 9 6 3 -2； 0 0 0 -21 7丿

Q 0 0 0 0

丿

(2, 1, 1). =B .

所以秩（A ）=秩 (B) =3, =3.

B 是阶梯形,

T

，组合系数为 （1 ）秩（B ） （2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 个最大线性无关组。

B 的第1、2、4列是 A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一 （A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

2(5/5 =

275/15)

厂

1、

经正交标准化，得n 1= -75/5 ,n 2= 4^5/15 .入=-8的一个特征向量为 E 3=

2

、- 0

丿

卫/3

丿

-2/

E 2= (2, 0, 1) E 1= (2, - 1, 0) T 30.解 A 的属于特征值 入=1的2个线性无关的特征向量为 T

/ 、

1/3

2^5/5

2^15/15 1/3 经单位化得n 3=

2/3 .所求正交矩阵为 T = -亦/5

4/5/15 2/3

.-2/3>

< 0

亦/3

-2/3

10 0'

2^5/5

2(15/15 1/3 对角矩阵 D =

0 1 0

.（也可取T =

-75/3 2/3 1

0 0 -8 丿

卫/5

Y 妇15

-2/3』

.

)