综合测试题(二)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2014，江西文，2)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(

RB)＝(

)

B．(－3，－1) D．(－3,3)

A．(－3,0) C．(－3，－1] [答案] C

[解析] A＝{x|x2－9<0}＝{x|－3<x<3}， RB＝{x|x≤－1或x>5}，

∴A∩( RB)＝{x|－3<x<3}∩{x|x≤－1或x>5}＝{x|－3<x≤－1}，故选C. 2．已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝( ) A．(0,1) C．(1,2) [答案] D

[解析] 因为A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}， B＝{x|x≤2}．

所以A∩B＝{x|1<x<4}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．

3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减少的函数是( ) 1A．y＝

xC．y＝－x2＋1 [答案] C

[解析] 利用偶函数定义及单调性的判断方法求解． 1

A项，y＝

xB项，y＝ex是非奇非偶函数，故不正确；

－

B．(0,2] D．(1,2]

B．y＝ex

－

D．y＝lg|x|

C、D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减少的，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增加的．故选C.

1

4．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(log30.3，则( )

5A．a>b>c C．a>c>b

B．b>a>c D．c>a>b

1010

[解析] ∵－log30.3＝log3且<3.4，

3310

∴log3<log33.4<log23.4

310

∵log43.6<1，log3>1，

310

∴log43.6<log3.

3∵y＝5

x

为增函数，∴5 log23.4>5log3

10

log43.6

31

即5 log23.4>() log30.3>5 log43.6，即a>c>b.

5

5．(2013·浙江高考)已知x，y为正实数，则( ) A．2lgx

＋lgy

＝2lgx＋2lgy B．2lg(x

＋y)

＝2lgx·2lgy

lgyC．2lgx·＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy

[答案] D

[解析] 本题考查指、对运算． 2lg(xy)＝2(lgx

＋lgy)

＝2lgx·2lgy.

6．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为( )

A．a＝1，b＝0

B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝3 D．以上答案均不正确 [答案] B

[解析] 对称轴x＝1，当a>0时在[2,3]上递增，

f 2 ＝2， a＝1， 则 解得 f 3 ＝5，b＝0.

当a<0时，在[2,3]上递减，

f 2 ＝5， a＝－1， 则解得 f 3 ＝2， b＝3.

故选B.

7. 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( ) 14C．2

1B2D．4

[解析] ∵当a>1或0<a<1时，ax与loga(x＋1)的单调性一致， ∴f(x)min＋f(x)max＝a，

1

即1＋loga1＋a＋loga(1＋1)＝a，∴a＝.

2

1x

8．已知函数f(x)满足：x≥4，f(x)＝ 则f(2＋log23)＝( ) 2；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，1

2418[答案] A

1 3＋log3

2 [解析] f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝ 2 13 1 log3111

2＝ 2 2 ＝8×324A.

9．函数f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点的个数为( ) A．0 C．2 [答案] D

[解析] f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点就是方程(x－1)ln|x|－1＝0的实数根，而该方程等于方程ln|x|＝

11g(x)＝ln|x|的图像与h(x)＝x－1x－1

B．1 D．3 1

B123D．8

的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．

x－2x－2x

10．若f(x)＝x∈R)，且f()＝－，则x的值为( )

2x＋2x＋2A．2 C．±2 [答案] A

[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． x－2

－2

x－2x＋2－x－6xf)＝＝－2x＋2x－23x＋2

＋2x＋2∴2(x＋6)＝(3x＋2)x， 即x2＝4，∴x＝±2. 又x≠－2，∴x＝2.

B．－2 D．0

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(2014·天津文，12)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________． [答案] (－∞，0)

[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u＝x2，则函数u＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y＝lgu是增函数，∴函数f(x)＝lgx2的单调递减区间为(－∞，0)．

12．方程9x－6·3x－7＝0的解是________． [答案] x＝log37

[解析] 原方程可化为(3x)2－6·3x－7＝0， 即(3x－7)(3x＋1)＝0，

又∵3x＋1>0，∴3x＝7，则原方程的解是x＝log37.

m·3x1－1

13．若函数y＝－的定义域为R，则实数m的取值范围是________．

m·3＋1

－

[答案] [0，＋∞)

m·3x1－1

[解析] 要使函数y－R，

m·3＋1

－

则对于任意实数x，都有m·3x1＋1≠0，

－

1x－1 1x－1

即m≠－ 3.而 3>0，∴m≥0.

故所求m的取值范围是m≥0，即m∈[0，＋∞)．

14.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．

[答案]

1－4x1－4x[解析] 设矩形的长为x，饲养场的总面积为y，则有y＝3x2x2

661

＋. 2

11

当x＝y有最大值，此时宽为，故每个矩形的长宽之比为

812场的总面积最大．

2x＋a， x<115．已知实数a≠0，函数f(x)＝ ，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为

－x－2a， x≥1

时，围出的饲养

________．

3

[答案] 4

[解析] 首先讨论1－a,1＋a与1的关系． 当a<0时，1－a>1,1＋a<1，

所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.

因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2. 3

解得a＝－4

当a>0时，1－a<1,1＋a>1， 所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a. f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1， 因为f(1－a)＝f(1＋a)

3

所以2－a＝－3a－1，所以a舍去)

23

综上，满足条件的a＝－4

三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)设A＝{2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}． (1)求a的值及A，B；

(2)设全集U＝A∪B，求( UA)∪( UB)； (3)写出( UA)∪( UB)的所有子集． [解析] (1)∵A∩B＝{2}，

∴8＋2a＋2＝0,4＋6＋2a＝0.∴a＝－5. 1

∴A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝{，2}，

2B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5,2}． 1

(2)U＝{5,2}，

2

11

( UA)∪( UB)＝{－5}∪{}＝{－5，}．

22(3)( UA)∪( UB)的子集为： 11

，{－5}，{}，{－5，}．

22

b

17．(本小题满分12分)已知：函数f(x)＝ax＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足

x

517f(1)＝，f(2)＝，

24

(1)求a，b，c的值；

1

(2)试判断函数f(x)在区间(0，上的单调性并证明．

2[解析] (1)∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．

bb

∴－ax－c＝－ax－－c，

xx∴c＝0. b

∴f(x)＝ax＋x517

又f(1)＝，f(2)＝

24

a＋b2∴ b17

2a＋ 24

5

.

1∴a＝2，b.

2

1

(2)由(1)可知f(x)＝2x＋2x

1

函数f(x)在区间(0上为减函数．

2证明如下： 1

任取0<x1<x2<

2则f(x1)－f(x2) 11

＝2x1＋－2x2－

2x12x2＝(x1－x2)(2－

1

2x1x2

4x1x2－1

＝(x1－x22x1x21

∵0<x1<x2<，

2

∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0. ∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， 1

∴f(x)在(0，上为减函数．

2

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有唯一零点．

(1)求实数a的取值范围；

32

(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．

17[解析] (1)∵函数f(x)在区间(－1,1)上有唯一零点，

f 1 >0， f 1 <0，∴ 或 f －1 <0， f －1 >0， a>2， a<2， 即 或 ∴1<a<2.

a>1.a<1，

32

(2)若a＝，

17

326428

则f(x)＝x3－x＋，

17171728

∵f(－1)>0，f(1)<0，f(0)＝，

17∴零点在(0,1)上．又f(0.5)＝0， ∴f(x)＝0的根为0.5.

19．(本小题满分12分)某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比例．又当x＝0.65元/度时，y＝0.8.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .

[解析] (1)∵y与x－0.4成反比例， k

∴设y＝(k≠0)．

x－0.4将x＝0.65，y＝0.8代入上式， k

得0.8＝k＝0.2.

0.65－0.40.21

∴y＝

x－0.45x－2

12

即y与x之间的函数关系式为y＝x≠55x－21

(2)根据题意，得(1＋(x－0.3)

5x－2＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得x2－1.1x＋0.3＝0. 解得x1＝0.5，x2＝0.6.

经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．

∵x的取值范围是0.55～0.75之间， 故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x＝0.6.

当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.

20．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时的解析式1a

为f(x)＝(a∈R)．

42

(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式； (2)求f(x)在[0,1]上的最大值．

[解析] (1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]， 1a

f(－x)＝－－＝4x－a·2x，

42

又∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)， ∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．

(2)∵f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]，令t＝2x，t∈[1,2]． a2a2

∴g(t)＝at－t＝－(t－)＋24

2

a

当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1； 2aaa2

当，即2<a<4时，g(t)max＝g(＝

224a

当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4. 2综上所述，当a≤2时，f(x)最大值为a－1， a2

当2<a<4时，f(x)最大值为，

4当a≥4时，f(x)最大值为2a－4.

21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝log1 (x2－mx－m.)

2(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；

(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m的取值范围． [解析] (1)m＝1时，f(x)＝log1 (x2－x－1)，

21＋51－5

由x2－x－1>0可得：x>x

22

1＋51－5

∴函数f(x)的定义域为()∪(－∞，)．

22

(2)由于函数f(x)的值域为R，所以z(x)＝x2－mx－m能取遍所有的正数从而Δ＝m2＋

4m≥0，解得：m≥0或m≤－4.

即所求实数m的取值范围为m≥0或m≤－4. (3)由题意可知：

m 213 2－23≤m<2. 13 2－m 1－3 －m>0

即所求实数m的取值范围为[2－3，2)．