山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编 专题(13)

（1）证明：EF=CF； （2）当tan ADE

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时，求EF的长．

【答案】解：（1）过D作DG⊥BC于G．由已知可得，四边形ABGD为正方形。

∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG。

∴∠ADE=∠GDC 。

又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，∴△ADE≌△GDC（AAS） 。 ∴DE=DC，且AE=GC。

在△EDF和△CDF中，∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF= DF， ∴△EDF≌△CDF（SAS）。∴EF=CF 。

（2）∵tan∠ADE=

AEED

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， ∴AE=GC=2。

设EF x，则BF=8－CF=8－x，BE=6－2=4。 由勾股定理，得 x2 8 x 42。 解之，得 x=5， 即EF=5。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理。

【分析】（1）要证EF=CF，只要证它们是全等三角形的对应边。考虑△EDF和△CDF， DF是公共边，由△ADE≌△GDC可证得DE=DC，同时可证得∠EDF=∠CDF。从而得证。 （2）要EF的长，只要在Rt△OCD应用勾股定理即可求得。

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