山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编 专题(10)

又∵AD∥DC，∴四边形AECD为平行四边形。

∴AE∥DC。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。 ∴△AOE∽△COF。 （2）证明：连接DE，

∵AD平行且等于BE，∴四边形ABED是平行四边形， 又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形。 ∴GE=GA=GB=GD=

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BD=

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AE。

∵E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中线。 ∴EF=

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BD=GD，GE=

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CD=DF。

又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。∴四边形EFDG是菱形。

【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，菱形的判定。

【分析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF。

（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根

据矩形和三角形中位线的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形。 8.（临沂7分）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．

（1）求证：AC=AD；

（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA。

∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠B。∴AD∥BC。∴∠D=∠DCE。 ∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE。∴∠D=∠ACD。∴AC=AD。

（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形。∴AB=BC。 ∴∠ACB=60°。∠FAC=∠ACE=120°。 ∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形。

【考点】

等腰三角形的判定和性质，平行的判定和性质，等边三角形的判定和