数学奥林匹克初中训练题_119_(6)

数学能力竞赛决赛

2009年第7期39

又F′E=CE,则ECF′=EF′C.于是

,EF′C=F′CB,即F′E∥BC.结合EF′=EF,

得

EF′F=F′FB=F′FE.因此,△BF′F△OF′F,BF′=F′O.由F′E∥BC,

得

F′EF=EFC=ECF.故

2DEF=

2ECF′,

即DEF=ECF′.

在△DFE及△OEC中,

由DFE=FEC,FE=EC,

得

　△DFE△OEC,DE=CO.

故CF′=F′O+CO=BF′+DE.

k

三、首先a<10,结合a、k为大于1k223

整数,于是,a只可为3,24、,,k,444;k=3,888.

(1)若末三位数为888,令3

n=1000a+888.

易知n为偶数,则令n=2m.得3

m=125a+111=5(25a+22)+1.

3

因此,m除以5余1.

3

又当m除以5分别余0,1,2,3,4时,m除以5分别余0,1,3,2,4.

所以,m除以5余1,令m=5k+1.则332

m=125k+75k+15k+1=125a+111.整理得

23

3(5k+k+1)=25(a+1-k).

2

因(3,25)=1,所以,5k+k+1为25的倍数,即k+

1为5的倍数.

令k+1=5l.则22

5k+k+1=5(5l-1)+5l

2

=125l-50l+5(l+1).

故l+1为5的倍数,令l+1=5r(rN+).所以,

n=2m=10k+2=10(5l-1)+2

=50l-8=50(5r-1)-8=250r-58.又0<n≤2009,则r取1～8时,共8个

新兴数.

(2)若末三位数为444,则此数末位为2或8.

因任一正整数均可表为50k+m形(k、m为自然数,m<50),且

222

(50k+m)=2500k+100km+m,

2

所以,其平方末两位数与m末两位相同.于是,m仅可取

2,12,22,32,42,8,18,28,38,48.

依次检验知,当m=12或38时,平方末两位数为44.

因此,一切这样数为50k+k+38形().

k(k、m<且

222

(k+m)=250000k+1000km+m,

2

所以,其末三位数与m末三位数相同.

若为444,则m为50k+12或50k+38形.若m=50k+t(t=12或38,0≤k≤9),则

500-m=50(9-k)+(50-t)也为上述形式的数.而

2

(500k+m)

2

=[500(k+1)+(m-500)],从而,m与500-m末三位数相同.

于是,只需检验

m=12,62,112,162,212,38,88,138,188,238中哪些数平方后末三位数为444.(否则,若数大于250,则500减去它后末三位数与上述数中某一个一致.)

2

易知仅m=38时,末三位数为444(38=1444).

因此,m为38或500-38=462时成立.此时,一切新兴数为

500k+38或500k+462(k为自然数).又1≤500k+38≤2009,有0≤k≤3,1≤500k+462≤2009,也有0≤k≤3,所以,k取0～3时,得1～2009中8个新兴数.

综上,共有8+8=16个新兴数.(张　翱　天津市南开中学高一(2)班,300100)