数学奥林匹克初中训练题_119_(3)

数学能力竞赛决赛

36中等数学

=4k+1个数.3

同理,如果pA为4(3k+2)形数,有4k+2种取法;如果pA为4(3k+3)形数,有4k+

3种取法.(其中k从0到-1=249.)

3

又{1,2,…,750}中3k+1,3k+2,3k+3

形数均有=250个,此时,共有

3

4(1+2+…+249)×3+250+2×250+3×250

2

=6×250

因此,可取

所以,P为△O1AB的重心.

又AE过点P,则EP∶EA=1∶3,且E为O1B的中点.

由O1AB=90°,知EA=EB=O1E,即

EAB=EBA.

又四边形APDB为圆内接四边形,则

EAB=PDE.故PDE=ABE]PD∥AB

]△EPD

△EAB

]]PD=.EAAB233由PD,有

OD种取法.

2

因为全部取法共有1000×1000=

1000种,所以,

2

P=0.2

1000

5.C.

,,.

若两正整数m、n使m>n+1,有m! n!=(m-1)! m n!>(m-1)!(n+1)!.

又(m-1)+(n+1)=m+n,当m+n一定时,要m! n!最小,必须使m与n相等或仅相差1.

从而,a1+a2+…+a12=2009中,若a1!a2!…a12!最小,则a1,a2,…,a12中任意两数至多相差1(否则,可按上述方法调整,使和不变,m! n!…变小).

又2009=12×167+5,则当a1=a2=…=a7=167,a8=a9=…=a12=168时,a1!a2!…a12!最小

.

因此,a1+a12=335.6.D.

如图6,联结O1O2.则O1O2过点P.

联结AP并延长交O1B

图6于点E.

因为O1P∶O2P=2∶1,且O2为AB中点,

OO2

.O1=O1B=

12-O2A=22,故

2

2

1A+AB=2=BD+O1D=3x.

解得x3.

3

3,3CD=O1D-O1C-2.

3则CD+3DP3-2+33.

333二、1.-.

4

所以,O1D=2x注意到

M=a-4ab2

2b+2a-5b42

2

=(a-2b+1)+

2

2

-.22

因M为整数,所以,M最小值可能为1.若可以,此时

(a-2b+1)

2

+

2

2

-=

2

22

](2a-4b+2)+(b-2)=2.

2

又b为整数,则(b-2)为完全平方数,

故

(2a-4b+2)=1,(b-2)=1

2

2

(2a-4b+2)=2,(b-2)=0.

2

2