数学奥林匹克初中训练题_119_(4)
时间：2026-01-16
数学能力竞赛决赛
2009年第7期37
解方程组,且满足a≤b的解仅有
a=,b=1.
2
22
所以,a-b=-.
42.
.
10
=(
33
x+
2
2
33
y)
2
23
=8.
所以,x+y=4.
2323
令x=a,y=b.则
①
33
a+b=40. ②由式②得
2
(a+b)[(a+b)-3ab]=40.
a+b=4,
如图7
,联结AE
、BD、
AC.易得
△EQR
]ED
]
DQ
]QD
△EDC==CD32=
QB2
将式①代入得ab=2.
3326633
故(a+b)=1600=a+b+2ab=a+b+16.
6
6
解得ab=1584,即x1584.-39.
图7
664b=,+=0,有无穷.
若a-b≠0,令(a-b)x=t,则t为整数,
2
且(a-b)t+(a-2b)t+(a+b)=0是关于t的二次方程.
由韦达定理得
t1+t2=,t1t2=.
a-ba-b故t1t2-2(t1+t2)=3.
所以,(t1-2)(t2-2)=7.不妨设t1≥t2,有
]]]
=
45°EAB+
BAC=90°.
于是,EC为直径.
设△AEC的外接圆交CD于点M,联结
EM.则EM
DC.
由对称性知ED=EC.所以,DM=CM又QD=
ED=
2
.2
2
+AD,因此,3
t1-2=7,t2-2=1
t1-2=-1,t2-2=-7.
QD=.22
.10
3
由割线定理得ED PD=DM DC.代入解得PD3.1584.
解得t1=9,t2=3或t1=1,t2=-5.
=12,=-4,a-ba-b=27=-5.a-ba-b解得13a=14b或2b=3a.
(1)若13a=14b,则a-b令
2
x+
3
2
3
xy=A,
2
33
4
42
y+x(
2
3
2
2
xy=B.
3
24
b为整数.13
则x+同理,
3
xy=A,
4
3
42
x+
2
y)=A.
22
y(
32
x+
32
2
y)=B.
32
323
32
所以,b为整数且13|b.
又(a-b)x=tbx=3或9,于是,
13
bx=39或117.
故A+B= =(
3
++
3
+32
x+
2
3
y)
2
x+
2
y
2
结合b与x为整数知bmin=-39.
数学奥林匹克初中训练题_119_(4).doc
将本文的Word文档下载到电脑
