数学奥林匹克初中训练题_119_(2)

数学能力竞赛决赛

2009年第7期35

物线交y轴于点B(0,a).求a的最大值.

(25分)如图3,△ABC中,AB=

AC,二、

F为边BC上一点,BF、CF的中垂线分别交AB、AC于点D、E,F关于直线DE的对称点为

图3

F′.若F′在AB

的中垂线上,试证:CF′=DE+BF′.

(25分)如果一个自然数的k次方末三、

k

三位数都是a(a、k为大于1的自然数),则称其为“新兴数”.问:在1,2,…,2009中有几个新兴数?并证明你的结论.

分线,所以

,

ADC=90°-

22

AB

C.ABC>

BAC.

又AC>BC,则故

ADC=90°-

ABC

BAC=DAC.2

因此,CD>AC>BC.则2CD-B

C-AC

=(CD-BC)+(CD-AC)>

0.所以,2CD

-BC>AC.3

.B.

90

°,C≠B.<90°-

参考案

试

一令1a=x,1-b=y,1-c=z.则x++z=2005,4=

1-a1-b1-c+=.1-a1-b1-cxyz

①

B

,于是,B=90°(如图5).

此时三垂线交于点B.作DEBC于点E.易得

AB=

-(BC-AD)

2

2

A、D

图5

=5.

故S梯形ABCD4.C.

(1+3)=25.2

将式①两边平方得

2222

2005=x+y+z+2xy+2yz2zx

222

+=x+y+z+2x

y

z

注意到

>Ζ4p>3q.q4

=x+y+z+8xyz

222

=(1-a)+(1-b)+(1-c)+8(1-a)(1-b)(1-c)222

=a+b+c-2(a+b+c)+8(1-a)(1-b)(1-c)+3.222

故a+b+c+8(1-a)(1-b

)(1-c)

2

=2005+2×2008-3

22

=(2005+1

)+2

=2006+2.2.A.

如图

4,联结AD,

222

延长BA至点F.

因为BD、CD分别为ABC、ACE的角平分线,易知AD为FAC的角平

图4

考虑如下两个集合:A={4×1,4×2,…,4×1000},B={3×1,3×2,…,3×1000}.问题转化为:在A、B中各取一数pA、pB使pA>pB.若在A中取比750×4更大的数,由于4×751>3×1000,此时,在B中无论怎样取都有pA>pB,共

(1000-751+1)×1000=250000种取法.

若在A中取比751×4小的数,则按除3后的余数分类:

如果在A中取4(3k+1)形数,因为4(3k+1)>12k+3=3(4k+1),所以,在B中最大可取12k+3.