数学奥林匹克初中训练题_119_(5)

数学能力竞赛决赛

38中等数学

(2)若2b=3a,同理可得bmin=-3.

综上,b最小为-39.

第二试

一、如图8,易知函数y=x-1图像的顶点为M(0,-1)

.令A(p,q).联结AM、AO.　　则AM的中点坐标为,,22

由于该点

在y=mx上,于是,

2

2

解得a,且a时,9t-6t+1=0.

44因此,t=>0满足条件.

3

此时,m=.

3

综上,a的最大值为

.4

二、辅助线如图9,令EF交CF′于点O.由中垂

线定理知

BD=DF,′=A,图8

=,

ABC=

DFB=

图9

ACB,DF∥AC.

2

2

.①

同理,EF∥AB.

因此,四边形ADFE为平行四边形,

故BAC=DFE

=FEC.又点F

与F′关于DE对称,则

DF′=DF=

DB,F′E=EF=EC,DFE=F′EF=2

DF′E=DEF=2

DAE,

DEF

′.

又AO=MO=1,则

p+q=1.

2

②

p2,m+1q2.m+1

2

联立①、②解得

p=0,q=1

①

(舍)于是,平移后抛物线的顶点为

2

,22.m+11+m

所以,平移后抛物线为

22

y=x-22.

1+m1+m

24

令x=0,有a=4.2

m+2m+1

2

令t=m>0.则

2

a=2,

t+2t+12

即　(a+1)t+(2a-4)t+(a-1)=0.③

若a=-1,有t<0.不可能.所以,a≠-1.式③是关于t的二次方程.

2

故Δ=(2a-4)-4(a+1)(a-1)≥0.

故D、F′、A、E四点共圆,有

F′DA=F′EA.所以,所以,

F′DB

=F′BA=

F′EC.F′CE,且

②

由式①、②得△BDF′△CEF′.

==.CF′CEEF

③

又△BDF

.EFFC

△FEC,故

④

.CF′CF

BF′C.

F′CA得F′、A、C、B四点F′CB=

F′BA=

F′CE.

由式

③、④知

因此,F′F平分由F′BA=

共圆.所以,

F′AB=