1988年全国初中数学联合竞赛试题及解答(7)

由②，q

np 1

，③ 2

np 1

将③代入①，得2p 1 mq m 2

， ∴(4 mn)p m 2， ∴4 mn是正整数．

即mn 1，mn 2或mn 3， 再注意到m n，因而仅有

m 2，或 n 1 n 3

，

n 1 当m 2，n 1时，由①、②解得 p 2，q

3

2

，不合题意． 当m 3，n 1时，由①、②解得 p 5，q 3．

∴p q 8．

三、

【解析】 证明：首先容易证明△PAB∽△Q CB∽△QCD∽△R ED∽△REF∽△P AF，依次记上述六个三角形的面积为S1，S1 ，S2，S 2，S3，S3 ．易知 S1 S2 S3 S1 S2

S3 ， 由b22

1S1 b2S b23S3 a ， 2

22，2 ， 1S1a1S1a1S12

得b21 b2 b23 S3 a2 S1 S2

1S1

即a21S1

b222

1 b2 b3S1 S2 S3

， 同理a2

2S2

a23S3b222 1 b2 b3S1 S2 S，b22

， 3 1 b2 b23S1 S2 S3 ∴a2 a22

12 a3S1 S2 S3b22

2 1 b2 b3S1 S2

S 1， 3 ∴a2 a22 b22

12 a31 b2 b23