1988年全国初中数学联合竞赛试题及解答(5)

3．5

【解析】 方法一：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，

由1

11111

x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4

≤

111113 x4 x5

，

x4x5x4x5x4x5x5x4x4x5

得x4x5≤3 x4 x5． ∴(x4 1)(x5 1)≤4．

若x4 1，则x1 x2 x3 x4 1这时，题设等式成为4 x5 x5，矛盾！ 若x4 1，则x5 1≤4，即x5≤5．

若x5 5时，容易找到满足条件的解组：（1，1，1，2，5）， 所以，最大值是5．

方法二（LTX）：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5， 则x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5≤5x5，即x1x2x3x4≤5，

7

从而易枚举得所有的解为：（1，1，1，2，5），（1，1，1，3，3），（1，1，1，4，），

3

（1，1，2，2，2），其中符合题意并且x5取到最大值的解为：（1，1，1，2，5）. 所以，最大值是5．

【点评】 给出一个一般的结论，满足等式x1 x2

xi(i 1，2，，n)至少有一组：1，1，，1，2，n．

(n 2)个

xn x1x2xn的自然数

利用它我们不难解答下面的问题： 试写出方程x1 x2 答案x1 x2

4．7

【解析】 如图，设EC x，BE y，ED z．

由△DCE∽△ACD，得

CDEC4x

，即 ，

CADC6 x4 x1987 x1x2

x1987的在自然数集中的一组解．

x1985 1，x1986 2，x1987 1987．

解得x 2（x 8不合题意），

又由AE EC BE ED，得yz 6 2 12， 但在△BCD中，又可得y z 4 4 8，

y 3 y 4

从而，只能求出正整数解组 或 ，此时，都有BD y z 7．

z 4z 3