1988年全国初中数学联合竞赛试题及解答(6)

第二试

一、

【解析】 首先，求出积中含有因数5的个数．

数组中：10，25，40，35，…，700均含有因数5．这一组数共有 (700 10) 15 1 47个，

如果每一个数各计一个5，共47个5，

但是，其中：25，100，175，…，700还有含有第二个因数5，这些数共计有 (700 25) 75 1 100

因此，就该再添上10个5．

类似地，250，625还会有第三个因数5，625还会有第四个因数5． 这样，积中因数5的个数为47 10 2 1 60个

至于积中因数2的个数显然多于60个，所以，积的尾部共有60个零．

二、

【解析】 解法1：首先有p q．

事实上，若p q，则

2p 1q 2p 1p 2 1p，因为p 1，2p 1

q

不是整数，与题设矛盾． 由对称性，不妨设p q，且令2q 1

p

m，则m为正整数． ∵mp 2q 1 2p 1 2p， ∴m 1． 这样p 2q 1， 据此，

2p 1q 4q 3q 4 3q，但2p 1

q

也是正整数，且q 1， ∴q 3，

于是p 2q 1 5， ∴p q 8．

解法2：由解1知p q，不妨设p q， 令

2p 1

q

m，① 2q 1

p

n．② 则m，n都是正整数，且易知m n．