因此圆周的切线向量为{1,

1 xy

方向余弦为

1 x

cos

(

11 xy)

2

2x x, cos

(

2

y1 xy)

2

1 x,

于是

L

Pdx Qdy

[2x xP (1 x)Q]ds.

2

L

[分析] 在以上解法中，所运用的两类曲线积分之间的关系式 Pdx Qdy

L

(Pcos

L

Qcos )ds是正确的，但没有按“切线向量的方向与有向曲线L的

方向必须保持一致”去求出切线向量，造成结论错误。

[正确解] 曲线L的方程为x2 y2 2x,y 0, 以x为参数，则曲线L的切线向量为{1,

dydx},

由x2 y2 2x,得

dydx

1 xy

,因此切向量为{1,

1 xy

}.

由于L沿上半

圆周从点(2,0)到(0,0)，故切线方向余弦取

1 x

cos

(

11 xy)

2

2x x, cos

(

2

y1 xy)

2

1 x,

于是

L

Pdx Qdy

[ 2x xP (1 x)Q]ds.

L

2

三、综合题型分析

例11．计算

L

xds,其中L为球面x

22

y

2

z

2

a

2

与平面

x y z 0相交的圆周。

[分析一] 所求积分为第二类曲线积分，可用常规方法即参数化法进行如下计算。 [解一] 先求出曲线L的参数方程。由方程组

x2 y2 z2 a2,

x y z 0,