R

2

2

4

(R xy)

(R

2

R

2

2

2

x y2

)

4

16R

6

,

由不等式

L

，易得 Pdx Qdy LM（见证一）

IR 2 R

16R

6

8 R

2

,

于是limIR 0.

R

[方法小结] 在估计第二类曲线积分值时，利用向量的计算和一些已知不等式，往往是有效的。

例20． 计算I

y

L

222

x y z 1,

ydx zdy xdz, 其中L为曲线 其方向是从

x y z 1,

轴正向看去为逆时针方向。

[分析] L 为一条空间曲线，本题若采用将其方程参数化进行求解是比较麻烦的，以下用斯托克斯公式来计算。

[解答] 设x y z 1上圆的内部区域为S, 法向量取向上。由斯托克斯公式：

I

L

ydx zdy xdz

dzdx yz

dxdy zx

dydz

S

xy

dydz dzdx dxdy.

S

易知S指定侧的单位法向量为n {

13

13

,

13

13

所以cos cos cos

, 其中 , , 为n的方向角。

由第一、二类曲面积分的联系，得

L

ydx zdy xdz

S

3dS

3S,

其中S为圆S的面积。