Dxy

上的单值可微函数。但在本题中，不能用公式(1)计算，这是因为曲面S不能

写成的单值函数z z(x,y)，且这时S在xoy平面上的投影是一条曲线（圆曲线

x y

2

2

a

2

2

），其面积为零，从而dS zx2 zydxdy, 因此本题只能考虑用另

外两个公式计算。

[解一]利用向xoz面投影的方法来计算，此时分曲面S为两个半柱面S1，S2。由于S1与S2关于xoz面对称，被积函数在S1与S2上也对称，故所求积分为在S1上积分的两倍，其中S1的方程为y a2 x2, 在zox上的投影区域为

Dzx: a x a,0 z h，

y x

a

x

2

x

2

,

y z

0.于是

S

2

xdS 2 x2dS 2x (

S1

2

xa

2

DZX

x

2

2

2

22

) 0dzdx

2 dz

ha

axa

2

2

2

a

x

2

4ah

a

xa

3

02

dx

x

x asint4ah 2asin

2

tdt ah.

类似地，本题也可利用向yoz面投影的方法来计算。

[分析二]考虑到在圆柱面方程x2 y2 a2中x,y的对称性，故利用此特性求解。 [解二]由于S的方程中x,y对称，所以 x2dS

S

S

ydS

2

，从而

S

xdS

2

2

12

S2

(x y)dS

22

12

S

adS

2

a

2

S

a

2

2 ah ah.

3

[方法小结] 对第二类曲面积分，在直角坐标下采用投影法化为二重积分计算时，对曲面方程是有要求的，应引起充分注意。同时从[解二]看到，利用具体题目的特性求解往往较简捷，对称性是常被应用的特性。

例18．计算曲面积分 x2dydz，其中 是长方体 的整个表面的外侧，

x,y,z |0 x a,0 y b,0 z c .

[分析一] 所求积分为第二类曲线积分，由于被积函数且积分区域均比较简单，可用以下常规的投影法求解。