例15．计算

axdydz (z a)dxdy

2

x

2

y

2

z

2

，其中 为下半球面z a2 x2 y2的

2

上侧，a为大于零的常数。

[分析一] 曲面积分是沿着曲面的积分，可用曲面方程代入被积表达式化简，对本题而言特别重要。因x2 y2 z2 a2代入被积表达式后将分母中的

x

2

y

2

z

2

1

2

化为a提出去了，使得余下的被积表达式能够用高斯公式计算（否

则高斯公式所要求的连续可微性条件不满足）。

[解一] 由于高斯公式要求积分曲面为封闭曲面，所以必须将原曲面 补上一块有向曲面

S

x2 y2 a2,: z 0,

其法向量与z轴正向相反，从而得到

原式

a

11

S

axdydz (z a)dxdy (3a 2z)dv

2

S

axdydz (z a)dxdy

2

a

1

D

adxdy,

2

其中 为 S 围成的空间区域，D为z 0上的平面区域x2 y2 a.于是

原式

2 aa

2

3

4

2 zdv a

4

0a

2

2

2 1 4

a 2 d

0 a

a

d

zdz

a.

[分析二] 本题也可直接用统一投影法，化为xoy平面的某区域上的二重积分进行计算。 [解二] 由于

dydzx

dzdxy

dxdyz

,

所以dydz

xz

dxdy, 记D (x,y)x2 y2 a2, 则

原式=

1a

1a

(a

xz

2

(z a))dxdy

22

2

2

D

(

a

ax

2

(a a

2

x

2

y))dxdy

22

x y