第二讲 函数的单调性与最值(2)

含答案

1. f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 2x

2.函数f(x)＝[1,2]的最大值和最小值分别是________________.

x＋1

3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________________________________________________________________. 4.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( ) 1A.f(x)＝

xC.f(x)＝e2

B.f(x)＝(x－1)2

D.f(x)＝ln(x＋1)

1 <f(1)的实数x的取值范围是 ( ) 5.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f x

A.(－1,1)

B.(0,1)

D.(－∞，－1)∪(1，＋∞

)

C.(－1,0)∪(0,1)

题型一 函数单调性的判断及应用

例1 已知函数f(x)＝x＋1－ax，其中a>0. (1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；

(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数； (3)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围.

含答案

x

已知f(x)＝ (x≠a).

x－a

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围.

题型二 求函数的单调区间

例2 求函数log1(x2 3x 2)的单调区间.

2

求函数yx＋x－6的单调区间.

题型三 抽象函数的单调性及最值

例3 已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，2

f(1)＝－.

3

(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值.

含答案

x

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f y ＝f(x)－f(y)，当

x>1时，有f(x)>0. (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明. (3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域.

A组 专项基础训练题组

一、选择题

1.(2010·北京)给定函数①y＝x，②y＝log1(x 1)，③y＝|x－1|，④y＝2x1，其中在区

＋

1

2

2

间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( )

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

a

2.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )

x＋1A.(－1,0)∪(0,1) C.(0,1)

B.(－1,0)∪(0,1] D.(0,1]

3.已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2

＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 A.一定大于0 C.等于0 二、填空题

4.函数f(x)＝x－2x－3的单调增区间为______________________________________. 5.设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0； ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0； f x1 －f x2 ③>0；

x1－x2f x1 －f x2 ④<0.

x1－x2

其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________.(填序号)

( )

B.一定小于0 D.正负都有可能

含答案

6.已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是__________. 三、解答题

11

7.已知函数f(x)(a>0，x>0)，

ax

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； 1 1

2上的值域是 2 ，求a的值. (2)若f(x)在 2 2

ax

8.试讨论函数f(x)＝x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0).

x－1

B组 专项能力提升题组

一、选择题

b

1.若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )

xA.增函数

B.减函数

C.先增后减

x

D.先减后增

a x>1

2.已知f(x)＝ a是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为

4－x＋2 x≤1 2( )

A.(1，＋∞) C.(4,8)

B.[4,8) D.(1,8)

2

x＋4x， x≥0，

3.已知函数f(x)＝ 若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 ( ) 2

4x－x， x<0，

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2) C.(－2,1)

D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)