第二讲 函数的单调性与最值(5)

含答案

a x2－x1 ＝ x1－a x2－a ∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知0<a≤1.

例2 解 令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log1u与u＝x2－3x＋2的复合函

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数.令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.

∴函数y＝log1(x2 3x 2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞).

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又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝.

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∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数. 而y＝log1u在(0，＋∞)上是单调减函数，

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∴y＝log1(x2 3x 2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1).

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变式训练2 解 令u＝x2＋x－6，y＝x＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的 复合函数.

由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.

∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而yu在(0，＋∞)上是增函数.

∴yx＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞). 例3 (1)证明 方法一 ∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令x＝y＝0，得f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x). 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0， f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2). 又∵x>0时，f(x)<0，

而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2). 因此f(x)在R上是减函数. 方法二 设x1>x2，

则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2). 又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，