第二讲 函数的单调性与最值(4)

含答案

可得22－2a2＋a，得a＝

. 3

(2)证明 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，

f(x1)－f(x2)x1＋1－ax1x2＋1＋ax2＝x1＋1－x2＋1－a(x1－x2)

＝

2

x21－x2x1＋1＋x2＋1

a(x1－x2)

＝(x1－x2)

x1＋x2 a . x1＋1x2＋1

∵0≤x1<x1＋1，0<x2x2＋1，

∴x＋1x＋112

x＋x又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减. (3)解 任取1≤x1<x2， f(x1)－f(x2) ＝(x1－x2)

x＋x a ， x1＋1x2＋1

∵f(x)单调递增，所以f(x1)－f(x2)<0. 又x1－x2<0， 那么必须

－a>0恒成立. x1＋1＋x2＋1x1＋x2

222

∵1≤x1<x2 2x21≥x1＋1,2x2>x2＋1， 2x1≥x1＋1，2x2x2＋1. 相加得2(x1＋x2)>x1＋1＋x2＋1

22

，∴0<a. 22x＋1x＋112

x1＋x2

变式训练1 (1)证明 任设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝

xx x1＋2x2＋2

2 x1－x2 ＝ x1＋2 x2＋2

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增. (2)解 任设1<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝

xxx1－ax2－a