海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)

方法2：由(Ⅰ)知PO 平面ABCD，又AB AD，所以过O分别做AD,AB的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：

A( 1, 1,0)，B( 1,1,0)，D(1, 1,0)

F(1,1,0)，C

(1,3,0)，P，

11E( , ,，

222

11则OE ( , ，PF (1,1,，PD (1, 1,，PC (1,3,.

222

1 ∴OE PF

2

∴OE//PF

∵OE 平面PDC，PF 平面PDC，

∴OE//平面PDC； 9分

(Ⅲ) 设平面PDC的法向量为n (x1,y1,z1)，直线CB与平面PDC所成角θ，

n PC 0 x1 3y1 1 0则

，即 ，

n PD 0 x1 y11 0

y1 0解得 ，令z1 1，则平面PDC

的一个法向量为n )，

x1 1

又CB ( 2, 2,0)

则sinθ cos n,CB

， 3. 14∴直线CB与平面PDC

分

18. (共14分）

解：（I）当a 0时，f(x) x xlnx，f'(x) lnx， 2分 所以f(e) 0，f'(e) 1， 4分

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)

所以曲线y f(x)在(e,f(e))处的切线方程为y x e. 5分 （II）函数f(x)的定义域为(0, )

1

f'(x) (ax2 x) (2ax 1)lnx ax 1 (2ax 1)lnx， 6分

x

①当a 0时，2ax 1 0，在(0,1)上f'(x) 0，在(1, )上f'(x) 0

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1, )上递减； 8分

111

时，在(0,1)和(, )上f'(x) 0，在(1,)上f'(x) 0 22a2a

11

所以f(x)在(0,1)和(, )上单调递增，在(1,)上递减； 10分

2a2a

1

③当a 时，在(0, )上f'(x) 0且仅有f'(1) 0，

2

②当0 a 所

以

f(x)在(0, )上单调递

增； 12分

111

时，在(0,)和(1, )上f'(x) 0，在(,1)上f'(x) 0 22a2a

11

所以f(x)在(0,)和(1, )上单调递增，在(,1)上递减 14分

2a2a

19．(共13分） 解：（I）由题意可得OP OM， 2分

④当a 所

以

O 0

P

，

O

即

M

(x

2

,yx 4分

2

即x 4y 0，即动点P的轨迹W的方程为x 4y 5分 （II）设直线l的方程为y kx 4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则A'( x1,y1). 由

y kx 4

2

x 4y

消

y

整理得

x2 4kx 16 0， 6分

则

16k2 64 0

，即

|k . 7分