01质点运动学习题解答(4)

时间:2025-05-03

解:答案为:1s; 1.5 m; 0.5 rad; 4.2 m s–2。 (1) 总加速度恰好与半径成45°角时a n= at ,根据

2

v2(att)an at

RR

t

R

1 s at

(2) s

1

att2 1.5m 2

ss

2π 0.5rad 2πRR

v2(aτt)2

an 3m s 2,

RR

2

a at2 an 32m s 2 4.2m s 2

(3) (4) 1s末

6. 若地球的自转速率快到使得在赤道上的法向加速度为g,则一天的时间应为时。(地球半径R = 6.4 10 6m) 解:答案为:1.41小时。

简要提示:由: 2R g,

g, R

T

R

5075s 1.41h g

7. 一列车以5.66 m s–2的加速度在平面直铁道上行驶,小球在车厢中自由下落,则小球相对于车厢中乘客的加速度大小为________ m s–2,加速度与铅垂直的夹角为_______。

解:答案为:11.3 m s–2;300。

简要提示:如图所示,小球相对于地面的加速度,即绝对加速度是g。列车的加速度,即牵连加速度a0,大小为a0 = 5.66 m s–2,所以小球的0 相对加速度a 为

a g a0

2

得a 的大小为: a g2 a0 11.3m s 2

与竖直方向的夹角 为 sin 1(a0/a ) 30

三 计算题

1. 半径为R的轮子在水平面上以角速度 作无滑动滚动时,轮边缘上任一质点的运动学方程为r ( Rt Rsin t)i (R Rcos t)j,其中i、j分别为x,y直角坐标轴上的单位矢量,试求该质点的速率和加速度的大小。

x Rt Rsin t

解:质点运动的分量方程为

y R Rcos t

vx

dydx

R Rcos t,vy Rsin t dtdt

v vx2 vy2 ( R Rcos t)2 ( Rsin t)2 R(1 cos t)2 sin2 t

v 2 R

ax

sin t

2

dvydvx

2Rsin t,ay 2Rcos t dtdt

a ax2 ay2 2R

2. 一质点运动的加速度为a 2ti 3t2j,初始速度与初始位移均为零,求该质点的运动学方程以及2s时该质点的速度。

11

解:答案为:r t3i t4j;v (4i 8j)m s-1

34

简要提示:已知质点运动的加速度,可得

质点的速度为 v v0 adt t2i t3j

11

运动方程为 r r0 vdt t3i t4j

34所以,2秒时质点的速度为: v (4i 8j)m s-1

3. 一艘正以v0匀速直线行驶的舰艇,关闭发动机后,得到一个与舰速反向、大小与舰

速平方成正比的加速度,即dv/dt= kv2,k为一常数,求证舰艇在行驶距离x时的速率为v=v0e kx。

dv

解:已知: kv2

dt

dvdvdxdv

对上式分离变量 v,得到

dtdxdtdx

dvv kv2 dx

dvdx

kv

xvdv

两边积分 dx

0v0kv11v

得 x (lnv lnv0) ln

kkv0

v v0e kx

4. 一质点初始时从原点开始以速度v0沿x轴正向运动,设运动过程中质点受到的加速

度a = kx 2,求质点在x轴正向前进的最远距离。

解:已知:x0 = 0,v0和a = kx 2,运用分离变量,得:

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