2001-2007年大学数学竞赛试题(3)

大学数学建模比赛

14

x o(x4)

1

lim4 。

x 0 2x o(x4)24

四、计算解

1 e0

xe x

x2

dx。（本题6分）

：

1 e0

xe x

x2

dx

xex

1 e1

t

x2

dx

1xd x

1 e

x 1 dx xx01 e01 e

1

dxx

1 e

x

命：e t，则dx dt，于是

1 e0

xe x

x2

dx

1

111 t dt ln2 dt ln11t(1 t)tt 11 t

2u 2u

2且u(x,2x) x，五、设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，2

x y

u'1(x,2x) x2，求u11''(x，2x)。（本题6分）

解：u(x,2x) x两边对x求导，得到

u'1(x,2x) 2u'2(x,2x) 1

代入u'1(x,2x) x，求得

2

1 x2

u'2(x,2x) ，

2

u'1(x,2x) x2两边对x求导，得到

u11''(x,2x) 2u12''(x,2x) 2x， u21''(x,2x) 2u22''(x,2x) x。

1 x2

u'2(x,2x) 两边对x求导，得到

2

2u 2u

以上两式与已知2 联立，又二阶导数连续，所以u12'' u21''，故

x y2

4

u11''(x，2x) x。

3

六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分）