2001-2007年大学数学竞赛试题(10)

大学数学建模比赛

223

x02 y xx1112 22002 dy yy xy y 0 120 3 0 2x0 2 2x0

1 1423134 x0 x0 x0 x0

2x0 212 3

1132

故有 x0即x0 1，y0 x0 1，得A(1，1)。

1212

⑵ 切线方程为y 1 2(x 1)，即y 2x-1。 ⑶ 在上述切线方程中令y = 0，得到x x1

x0

22

x0

2

1

1

，故所求旋转体的体积 2

4

12

V (x)dx (2x 1)dx xdx 1(2x 1)2

x1

1

d(2x 1)2

1 1

(2x 1)35 23

七、计算

1

5 6 301 2

1

（本题7分） (x2 1)3dx。

解：解法1 命In

1

(x2 1)ndx，则有

x dx 2I1 2I2，于是有 2 x 1

I1

1x2x

dx x 22

x2 1x2 1 (x 1)

I2

1 x

I1 。 2

2 x 1

1x2xx

dx x( 2)dx 4I2 4I3， 222322 (x2 1)2 (x 1)(x 1)(x 1)

同理I2 所以有

I3

11 xx3x3 3I arctanx C。 2 22222

4 (x 1)8x 18 4(x 1)

解法2

命x tan ，则