2001-2007年大学数学竞赛试题(16)

大学数学建模比赛

(x) cosx

,

四、设函数f(x) x

a,

x 0x 0

，其中 (x)具有连续二阶导函数，且

(0) 1。

⑴ 确定a的值，使f(x)在点x = 0处可导，并求f (x)。 ⑵ 讨论f (x)在点x = 0处的连续性。（本题8分）

解：⑴ 欲使f(x)在点x = 0处可导，f(x)在点x = 0处必须连续，于是有

limf(x) lim

x 0

(x) cosx

x

x 0

lim

(x) sinx

1

x 0

(0)

即当a (0)时，f(x)在点x = 0处连续。

当x 0时，

f (x)

(x) sinx x (x) cosx ；

x2

当x = 0时，

(0)f(x) f(0) (x) cosx x (0)f (0) lim lim limx 0x 0x 0x 0xx2 (x) sinx (0) (x) cosx1 lim lim (0) 1 x 0x 02x22

故：

(x) cosx

(x) sinx x (x) cosx ,2 xf (x)

1 (0) 1 , 2

⑵ 因为

x 0

。

x 0

x2

(x) sinx x (x) cosx (x) sinx (x) cosx (0) 1 lim lim x 0x 02x22

x 0

x 0

limf (x) lim

(x) sinx x (x) cosx

所以，f (x)在点x = 0处连续。 五

、

设

正

值

函

数

f(x)

在

[1, )

上连续，求函数