2001-2007年大学数学竞赛试题(6)

大学数学建模比赛

f'(x) lnx x

2

xx

1

x x2 x

2

x x

2

lnx x2。

命f'(x) 0，得到驻点 x = 0。由

f''(x)

1 x

2

0

可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为f(0) 0，于是对任意x ， 有

f(x) 0，即所证不等式成立。

十一、设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且（本题43f(x)dx f(0)，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点 ，使得f'( ) 0。

41

7分）

证明：由积分中值定理知，存在 ,1 ，使得

4

3

1

f( )

1 31

3

4

f(x)dx 43f(x)dx f(0)

4

1

又函数f(x)在区间 0, 0,1 上连续， 0, 内可导，由罗尔定理知，至少存在一点

0, 0,1 ，使得f'( ) 0。

十二、设f(x)在区间[a, )上具有二阶导数，且f(x) M0，0 f''(x) M2，（本题8分） (a x )。证明f'(x) 2M0M2。

证明：对任意的x [a, )，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a，+∞)，于是有

f(x h) f(x) f'(x)h

即

1

f''( )h2，其中 [h,x h]。 2!

1h

f'(x) f(x h) f(x) f''( )

h2f'(x)

2M0h

（x [a, )，h > 0） M2，

h2

故