2001-2007年大学数学竞赛试题(12)

大学数学建模比赛

(x,y) S

maxf(x,y) maxg(y) g(

y [ 1,1]

11

) 1

4； 943

。 9

(x,y) S

minf(x,y) ming(y) g(

y [ 1,1]

) 1

解法2

构造F(x,y, ) x 2xy y (x y 1)， 解方程组

2

2

2

2

2

Fx 2x 4xy 2x 0 2

Fy 2x 2y 2y 0 22

F x y 1 0

(1) y (2) x得到x 0或x2 2y2 0

联合求解(3)、(4)，得到6个可能的极值点

(1)(2) (3)

x(2y2 x2) 0，于是有(4)

2xy 4xy2 2x3 2xy 0，即

P1(0,1)，P2(0, 1)，P3(

21212121,)，P4(, )，P5( ,)，P6( , )， 333333因为f(P1) f(P2) 1,f(P3) f(P5) 1

44,f(P4) f(P6) 1 ，所以 99

(x,y) S

maxf(x,y) 1

434，minf(x,y) 1 。 (x,y) S99

十、计算I

cos(x y)dxdy，其中区域D为：0 x

D

2

,0 y

2

。（本题7分）

解：如图，用直线x y

2

将区域D分为D1和D2两个区域，则

I cos(x y)dxdy cos(x y)dxdy

D1

D2

0

0

2dx 2cos(x y)dy 2dx 2cos(x y)dy

2 x

x

0

0

2(1 sinx)dx 2(cosx 1)dx 2

十一、证明：当 0 < x < 1时，

1 x

（本题7分）

e 2x。

1 x