2001-2007年大学数学竞赛试题(11)

大学数学建模比赛

I3

11 31 24

secθdθ cos d 2cos2θ cos4θ d 6 4 22secθ

2x1 3112x1x 3

θ sin2θ sin4θ C arctanx 4 C 2222 4 284x 132 (x 1)x 1 8

33x1x

arctanx C88x2 14(x2 1)2

八、设u f(x,y,z), (x,y,z) 0,y sinx，其中f, 具有连续的一阶偏导数，且

2

du

（本题7分） 0，求。

zdx

解

：

将

y

=

sinx

代

入

u f(x,y,z), (x2,y,z) 0

，得到

u f(x,sinx,z), (x2,sinx,z) 0，显然方程 (x2,sinx,z) 0确定了 z 是x 的隐含

数 z = z (x) ，所以

du

f(x,sinx,z) x f1 f2cosx f3zx dx

2

又由 (x,sinx,z)x 12x 2cosx 3zx 0，

2x 1 2cosx du

得到 f1 f2cosx f3。

dx

3

九、求f(x,y) x 2xy y在S (x,y)x y 1上的最大值与最小值。（本题7分）

解：解法1

2

2

2

22

，即x 1 y，代入f(x,y) x 2xy y，得到 在S上有x y 1

f(x,y) g(y) 1 2y 2y3,( 1 y 1)

因此 g (y) 2 6y 命g (y) 0，得到y

2

2222222

13

，x

2

， 3

由于g(

13

) 1

2243

1 ， 39g(

13

) 1

224 1 ，又g( 1) 1，所以

93