2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(8)

由此可设 (1,0,1), (0,1,)，所以m n m ncos ，即

2cos cos

. 4

. 所以 sin

A1

解法二：如图，PC PC1,PA1 PB . 设

A1B

与

AB1

交于点

O,

C1

则

E

B1

O

A

P

面

OA1 OB,OA OB1,A1B AB1 .

因为 PA PB1,所以 PO AB1,从而AB1 平PA1B .

过O在平面PA1B上作OE A1P,垂足为E.

B

连结B1E,则 B1EO为二面角B A1P B1的平面角.设AA1 2,则易求得

PB PA2,PO 3. 1 ,A1O B1O

在直角 PA1O中，A1O PO A1P OE,即 2 3

OE, OE

6.

又 B1O

2, B1E B1O2 OE2 2

64.

55B1O2.

B1E44

5

sin sin B1EO

2

8. 336675 提示：首先易知x y z 2010的正整数解的个数为 C2009 2009 1004.

把x y z 2010满足x y z的正整数解分为三类：

（1）x,y,z均相等的正整数解的个数显然为1；

（2）x,y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设x,y,z两两均不相等的正整数解为k. 易知