2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试

2010年全国高中数学联赛

一 试

一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数f(x)

x 5 24 3x的值域是 .

2. 已知函数y (acos2x 3)sinx的最小值为 3，则实数a的取值范围是3. 双曲线x2 y2 1的右半支与直线x 100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .

4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中

a1 3,b1 1,a2 b2,3a5 b3，且存在常数 , 使得对每一个正整数n都有an log bn ，

则 .

5. 函数f(x) a2x 3ax 2(a 0,a 1) 在区间x [ 1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .

6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

7. 正三棱柱ABC A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B A1P B1 ,则sin .

8. 方程x y z 2010满足x y z的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）

9. （16分）已知函数f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)，当0 x 1时，f (x) 1，试求a的最大值.