2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(11)

定点C(5,0)到线段AB的距离 h CM S ABC

2

(5 2)2 (0 y0)2 9 y0.

11222AB h (9 y0)(12 y0) 9 y0 23

11222

(9 y0)(24 2y0)(9 y0) 32

222 24 2y0 9 y0119 y0

()3

323

14

. 3

22

当且仅当9

y0，即y0

,A 24 2y0

B

或A B时等号成立. 所以， ABC面积的最大值为

14

7. 3

解法二：同解法一，线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为(5,0).

51222

设x1 t1,x2 t2,t1 t2,t12 t2 4，则S ABC t12

22t2

S ABC ((56t1 6t1t2 6t1t2 56t2))

2

06t1的绝对值, 6t212

222

3

(t1 t2)2(t1t2 5)2 23

(4 2t1t2)(t1t2 5)(t1t2 5)

2

3143

(),

23

所以S ABC

142

, 当且仅当(t1 t2)2 t1t2 5且t12 t2 4，即t1 3

,A(

7 56

,

t

2

7 6 6B(或

33

A B时等号成立.