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.. .专业 . . 2004年省高等数学竞赛试题（本科二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦

时，()f x 的表达式 . 2. ()2tan 2lim sin x x x π→= 3. 2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭

4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =

5. ()()21x x e x dx x e -=-⎰

6.()112

n n n n ∞==+∑ . 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=， 则()1ϕ'= .

8. 设()()010

x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则 ()()D

f y f x y dxdy +=⎰⎰ . 二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 可导，(),f a a =，()()2212

b

a f x dx

b a =-⎰,求证： (),a b 至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q

1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；

2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积