对中学数学教育的帮助

这对教师提出了更高的要求，不仅对有关题材的各种联系事先尽可能作周密的设计与安排，更重要的是教师必须掌握丰富知识，具备高度的应变能力，随机应变，及时处理学生可能提出的各种问题，以保证将学生引上“再创造”的道路上去。让受教育者——学生的活动更为主动、有效，以便真正积极地投入到教育这个活动中去。

4弗赖登塔尔数学教育思想在教学案例的体现

4.1案例1 函数单调性的教学

师：我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x 5时是递增或递减的？为什么？

生：不能．因为此时函数值是一个数．

师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

生：不能．比如二次函数y x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y x2是增函数或是减函数．

师：好，举一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

师：还有没有其他的关键词语？

生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语． 师：你答的很对．能解释一下为什么吗？

（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）

师：“属于”是什么意思？

生：就是说两个自变量x1,x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

生：可以。

师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1 x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)。

师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

生：可以构造一个反例．考察函数y x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1 ，x2 1，显然x1 x2，而f(x1) 有f(x1) f(x2)，4，f(x2) 1，

若由此判定y x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．