29．【2012高考上海文23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于项数为m的有穷数列 an ，记bk max a1,a2,...,ak （k 1,2,...,m），即bk为

a1,a2,...,ak中的最大值，并称数列 bn 是 an 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列

是1，3，3，5，5

（1）若各项均为正整数的数列 an 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的 an （2）设 bn 是 an 的控制数列，满足ak bm k 1 C（C为常数，k 1,2,...,m），求证：

bk ak（k 1,2,...,m）

1

（3）设m 100，常数a ,1 ，若an an2 ( 1)

2

求(b1 a1) (b2 a2) ... (b100 a100)

[解]（1）数列{an}为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为bk max{a1,a2, ,ak}，bk 1 max{a1,a2, ,ak,ak 1}， 所以bk 1 bk. ……6分 因为ak bm k 1 C，ak 1 bm k C，

所以ak 1 ak bm k 1 bm k 0，即ak 1 ak. ……8分 因此，bk ak. ……10分 （

3

）

对

n(n 1)

2

n， bn 是 an 的控制数列，

k 1,2, ,25

，

a4k 3 a(4k 3)2 (4k 3)

；

a4k 2 a(4k 2)2 (4k 2)；

a4k 1 a(4k 1)2 (4k 1)；a4k a(4k) (4k).

比较大小，可得a4k 2 a4k 3. ……12分

因为1 a 1，所以a4k 1 a4k 2 (a 1)(8k 3) 0，即a4k 2 a4k 1； 2 a4k a4k 2 2(2a 1)(4k 1) 0，即a4k a4k 2.

2