江苏省扬大附中东部分校2014-2015学年高一上学期(12)

（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数的值域． 专题： 新定义；函数的性质及应用．

分析： （1）当a=1时，

，则

．再根据g（t）的值域为（3，+∞），故不存在常

数M＞0，使|f（x）|≤M成立，从而得出结论．

（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，即﹣4 2﹣[0，+∞）上恒成立．再利用单调性求出﹣4 2﹣值，从而得到a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=1+则f（x）=g（t）=t+t+1=

2

x

x

≤a≤2 2﹣

x

x

在的最小

的最大值和2 2﹣

+，，

+．

∵g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1），

即f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（3，+∞）， 故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，

所以函数f（x）在（﹣∞，1）上不是有界函数． （2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立． ∴﹣3≤f（x）≤3，﹣4﹣∴﹣4 2﹣∴﹣4 2﹣

x

xx

≤a

x

≤2﹣，

≤a≤2 2﹣在[0，+∞）上恒成立，

x

的最大值小于或等于a，且a小于或等于2 2﹣的最小值．

设 2=t，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，由x∈[0，+∞） 得 t≥1．

设1≤t1＜t2，∵h（t1）﹣h（t2）=

＞0，

p（t1）﹣p（t2）=

＜0，

所以，h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，

h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1， ∴﹣5≤a≤1，

所以，实数a的取值范围为[﹣5，1]．

点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题