关于空间向量与立体几何

11 8、以D 为坐标原点，D A 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：

设(),0,0E a ，其中0a >，则()()()()11

2,0,0,0,1,0,2,1,0,0,0,1,,,22C a A B a P F a ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

()()11

0,,,2,1,1,2,0,0

,0,22EF PB a AB a EF PB EF PB ⎛⎫==-=⋅=∴⊥ ⎪⎝⎭

，

0,AB EF AB EF ⋅=∴⊥

又,,PB PAB AB PAB PB AB B ⊂⊂= 平面平面， E F P A B ∴⊥⊂平面

（2）解：由2,AB BC =得2

2a =， 可得()()2,1,0,2,1,1AC PB =-=- 3cos ,6

AC PB AC PB AC PB ⋅〈〉==⋅

，

则异面直线A C ，P B 所成的角为3

arccos 6，

211,,,0,222AF AF PB AF PB

⎛

⎫

=-∴⋅=⊥ ⎪ ⎪⎝⎭

，

又PB EF ⊥，AF 为平面A E F 内两条相交直线，

P B A E F ∴⊥平面，

∴A C 与平面A E F 所成的角为3

3arccos arcsin 266π⎛⎫

-= ⎪ ⎪⎝⎭

， 即A C 与平面A E F 所成的角为3

arcsin 6

9、（Ⅰ）A C B C = ，AP BP =，

APC BPC ∴△≌△．

又P C A C ⊥，

P C B C ∴⊥．

AC BC C = ，

PC ∴⊥平面ABC ．

AB ⊂ 平面ABC ，

P C A B ∴⊥．

（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． x F E A B C D

P y z