关于空间向量与立体几何

6 答案：

1、证明：以A 为坐标原点A D 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M . （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 由题设知A D D C ⊥，且AP 与A D 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得D C ⊥面PAD .又D C 在面PC D 上，故面PAD ⊥面PC D . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC

.510

||||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PB

AC PB AC PB AC PB AC 所以

故 （Ⅲ）解：在M C 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..21

,1,1),21

,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14,00,.25

A N M C A N M C x z λ⊥=-== 只需即解得 0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54

=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ

ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角.

30

304||,||,.5552cos(,).3||||2

arccos().3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ==

=-∴==-⋅-

故所求的二面角为

2、（Ⅰ）证明：不防设作(1,0,0)A ，

则(1,1,0)B ， )23,0,21(V ，)23

,0,21

(),0,1,0(-==VA AB 由,0=⋅VA AB 得A B V A ⊥，又A B A D ⊥，因而AB 与平面V A D 内两条相交直线V A ，A D 都垂直. ∴AB ⊥平面V A

D .