关于空间向量与立体几何

7 （Ⅱ）解：设E 为D V 中点，则)43,0,41(E ，).23

,0,21

(),43

,1,43

(),43

,0,43

(=-=-=DV EB EA 由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=⋅又得 因此，AEB ∠是所求二面角的平面角， ,721||||),cos(=⋅⋅=EB EA EB

EA EB EA 解得所求二面角的大小为.721

arccos

3、解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、

(3,0,0)B 、(3,1,0)C 、(0,1,0)D 、 (0,0,2)P 、1

(0,,1)2E ， 从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则

,14

73723||||cos ==⋅⋅=PB AC PB

AC θ ∴A C 与P B 所成角的余弦值为147

3.

（Ⅱ）由于N 点在侧面P A B 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则

)1,21

,(z x NE --=，由N E ⊥面PAC 可得，

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩

⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63

(，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为3

1,6.

4、解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B 1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .

∵1AEC F 为平行四边形，

关于空间向量与立体几何

8 .62,62||).

2,4,2().

2,0,0(.2),

2,0,2(),0,2(,,

11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴ （II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，

)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩

⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由 ⎪⎩

⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即

111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α，则

.333341161

133||||cos 111

1=++⨯=⋅⋅=n CC n CC α

∴C 到平面1AEC F 的距离为

.113343333

43cos ||1=⨯==αCC d

5、解：以D 为坐标原点，直线1,,D A D C D D 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设A E x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为

（2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，

)1,0,1(1-=AD ，设平面1A C D 的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,

0,01AD n AC n 也即⎩⎨⎧=+-=+-00

2c a b a ，得⎩⎨⎧==c a b

a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面1A C D 的距离为

.31

3212|||

|1=-+=⋅=n n E D h