关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ⇔a ∥b a k b ⇔=

；

l ∥α⇔a

u ⊥ 0a u ⇔⋅=

；

α∥β⇔u ∥v .u k v ⇔=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α⇔a ∥u a k u ⇔= ；

l ⊥m ⇔a ⊥b 0a b ⇔⋅=

；

α⊥β⇔u ⊥v .0=⋅⇔v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ⋅=

；

②直线l 与平面α所成的角为θ(02π

θ≤≤),sin a u

a u θ⋅=

；

③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v

u v

θ⋅=

(定理)如图，设n

是平面α的法向量，

AP 是平面α的一条斜线，其中A α∈

，

则点P 到平面

α的距离h =||||A P n n ⋅ . h α

n

A ⋅

P ⋅O

⋅

关于空间向量与立体几何

2

⊥=∠PA DAB ,90 底面A B C D ，且1

2P A A D D C ===，1AB =，M 是P B 的中点。

（Ⅰ）证明：面P A D ⊥面PC D ；

（Ⅱ）求A C 与P B 所成的角；

（Ⅲ）求面A M C 与面B M C 所成二面角的大小。

2．如图，在四棱锥V A B C D -中，底面A B C D 是正方形，侧面V A D 是正三角形,

平面V A D ⊥底面A B C D ．

（Ⅰ）证明：AB ⊥平面V A D ；

（Ⅱ）求面V A D 与面D B 所成的二面角的大小．

证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.

3．如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为矩形， 侧棱P A ⊥底面A B C D ，3AB =，1B C =，2PA =，

E 为PD 的中点. D C B A V