形过程得以简化。

例4．解方程.

解：原方程可化为：

解得x=3。

评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。

3．排列与组合的应用题

历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。

一般方法有：直接法和间接法。

（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。

（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩ = 的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。

特殊方法：

（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。

（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。

（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。

（4）其它方法。

例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。

（1）甲排中间； （2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；

（4）甲在乙的左边（不要求相邻）； （5）甲，乙，丙连排；

（6）甲，乙，丙两两不相邻。

解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。

（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有 种，故共有 · =3600种不同排法。

（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有 ·=1400种不同的排法。

（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列 中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有 =2520种。

（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有· =720种不同排法。

（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有·=1440种不同的排法。

例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：

（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。

解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有 种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有 =388（个）。

（2）5的倍数：按0作不作个位来分类