∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；

（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1﹣a=0，解得a=1 ∴f（x）=x﹣lnx

222

∴f（x）+2x=x+b，即x﹣lnx+2x=x+b，亦即x﹣3x+lnx+b=0

2

设g（x）=x﹣3x+lnx+b（x＞0） 则g'（x）=2x﹣3+=

=

当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表 x g'（x） G（x）

（0，）

+ ↗

极大值

（，1） 1 ﹣ ↘

极小值

（1，2） + ↗

2

b﹣2+ln2

当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b﹣2，g（）=b﹣﹣ln2，g（2）=b﹣2+ln2 ∵方程f（x）+2x=x+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根 ∴g（）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0 ∴b﹣﹣ln2≥0，b﹣2＜0，b﹣2+ln2≥0 ∴+ln2≤b＜2

点评： 本题主要考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

21．已知抛物线C1：y=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：均在圆O：x+y=1上．

（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知

求证：λ1+λ2为定值．

（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′

，

，若点S满足：

考点： 圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用． 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）由C1：y=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x+y=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x+y=1上可解得椭圆C2的方程；

2

2

2

2

2

2

2

22

的上、下焦点及左、右顶点

，

，证明：点S在椭圆C2上．