整理得an=2an﹣1

由Sn=2an﹣p，令n=1，得a1=2a1﹣p， 解得a1=p，

所以{an}是首项为p，公比为2的等比数列．

n

（2）解：当p=2时，an=2， ∵满足b1=2，bn+1=bn+an=

n

，

∴bn+1﹣bn=2，

∴bn=b1+b2﹣b1+b3﹣b2+…+bn﹣bn﹣1

23n﹣1

=2+2+2+2+…+2 =2+

n

=2．

n

∴nbn=n 2，

23n

∴Tn=1 2+2 2+3 2+…+n 2，①

234n+1

2Tn=1 2+2 2+3 2+…+n 2，②

23nn+1

①﹣②，得：﹣Tn=2+2+2+…+2﹣n 2 =

n+1

﹣n 2

n+1

=（1﹣n） 2﹣2，

n﹣1

∴Tn=（n﹣1） 2+2． 点评： 本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意累加法和错位相减法的合理运用．

20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数） （1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x+b在

2

上恰有两个不

相等的实数根，求实数b的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件． 专题： 综合题．

分析： （1）先求出函数的导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可得到函数f（x）的单调区间； （2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x﹣3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x+b在

2

2

上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．

（x＞0）

解答： 解：（1）求导函数，可得

若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）； 若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a