18．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，

（1）求该生被录取的概率；

（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．

考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．

分析： （1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．

（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值． 解答： 解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项． 所以该生被录取的概率为P=[（

）+C

4

（） ]=

3

，

（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5． P（X=2）=×=；P（X=3）=CP（X=5）=1﹣﹣﹣

=

．

=；P（X=4）=C

（

） =

2

；

该生参加考试的项数ξ的分布列为： X 2 3

P

EX=2×+3×+4×

+5×

=

．

4

5

点评： 本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．

19．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣p，其中p是不为零的常数． （1）证明：数列{an}是等比数列；

+

（2）当p=2时，数列{an}满足b1=2，bn+1=bn+an（n∈N），求数列{nbn}的前项n和Tn．

考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）由Sn=2an﹣p，得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，a1=2a1﹣p，由此能证明{an}是首项为p，公比为2的等比数列．

nnnn

（2）当p=2时，an=2，从而bn+1﹣bn=2，由此利用累加法能求出bn=2．从而nbn=n 2，由此利

n﹣1

用错位相减法能求出Tn=（n﹣1） 2+2．

*

解答： （1）证明：因为Sn=2an﹣p（n∈N），

*

则Sn﹣1=2an﹣1﹣p（n∈N，n≥2），

所以当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，