黑龙江省哈六中2015届高三上学期期中考试数学理(6)

1

当x , 时,F (x) 0，f(x)单调递增.

e

1

当a 时,f(x)在[a,2a]单调递增,[f(x)]min f(a) alna,

e

当

1111 1

a 时,得a 2a,[f(x)]min f -------------------------------3分 2eeee e

(3) f(x) (k 1)x k对任意x 1恒成立， 即xlnx x k(x 1)对任意x 1恒成立， 即令g(x)

xlnx x

k对任意x 1恒成立 x 1

xlnx xx lnx 2

(x 1) g'(x) (x 1) x 1(x 1)2

x 1

0 h(x)在(1, )上单调递增。 x

令h(x) x lnx 2(x 1) h'(x)

∵h(3) 1 ln3 0,h(4) 2 ln4 0,

∴所以h(x)存在唯一零点x0 (3,4)，即x0 lnx0 2 0。 当x (1,x0)时，h(x) h(x0) 0 g'(x) 0； 当x (x0, )时，h(x) h(x0) 0 g'(x) 0；

∴g(x)在x (1,x0)时单调递减；在x (x0, )时，单调递增； ∴[g(x)]min g(x0)

x0(lnx0 1)x0(x0 1)

x0

x0 1x0 1

由题意k [g(x)]min x0，又因为k Z，所以k的最大值是3----------------------------------6分