从离散到连续——分数阶信号处理的理论、方法(2)

第１１期陈拮：从离散到连续——分数阶信号处理的理论、方法与应用

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设信号为ｗ（￡），连续ＦＲＦＦ普遍使用的积分定义

暑

为Ⅲ疋（ｕ）＝Ｉ戈（￡）Ｋ（￡，ｕ）ｄｔ

（１）

式中

Ｋ（ｔ，ｕ）＝

ｅｊ专∞“ｅｊ”‘ｊｔ日。一《ｅ№’，口≠ｐ７ｃ

ａ＝２ｐ丁ｃ

口＝（２ｐ±１）丌

写成算子形式为

恐（Ｕ）＝瞄（￡）

（２）

其中ａ∈（一丌，兀），Ｐ为整数．与连续ＦＲＦＦ类似，数字信

号菇（ｎ）的离散脚（Ｄ唧）定义为

瓦（ｋ）＝％（ｎ）

（３）

ＦＲＦＦ除传统的线性、时移（频移）等性质外，还有如下特殊性质一Ｊ：（ａ）疋满足交换律；（ｂ）（疋）～＝Ｆ一。；（ｃ）酉性，（Ｆｏ）＿‘＝（疋）日；（ｄ）凡［以］＝ｅ－ｊｐｎｘ／２以，这表明ＦＲＫＦ特征函数为Ｈｅｒｍｉｔｅ．Ｇａｕｓｓ函数“；（ｅ）若ｚ（ｔ）的

Ｗｉｇｎｅｒ分布为哦（ｔ，ｗ），则有肋；（／￥ＣＯＳｐ—ｖｓｉｎ０，

ｕｃｏｓ口＋ｖｓｉｎ０）＝ｌｅｏ‰（ｕ．ｖ）Ｅ＇．

根据不同核矩阵，ＤＦＲＦＦ的数值实现主要有三种算法：（１）线性组合类算法蛉Ｊ，利用标准ＤＦＦ核矩阵的指数项的线性组合计算ＤＦＲＦＦ，其缺点是计算结果与连续变换相差较大；（２）离散采样类算法一，１０Ｊ，通过对核函数离散采样值进行卷积来计算ＤＦＲＦｒ，利用ＦＦｒ减小运算量，但其核函数不是带限函数，采样存在频带混叠；（３）特征分解类算法【１１｜，利用矩阵的特征值和特征向量来计算，该类算法的计算量适中，能满足一般的精

度要求．ＦＲ盯具有在时频平面上无交叉项干扰ｕ２Ｊ的优

点，它在信号处理领域中的应用主要有：

（１）信号滤波：Ｏｚａｋｔａｓ等１１３］在唧域中实现了卷积运算、多路复用和分数阶域的滤波．其后，一些学者［１４，１５］将传统Ｆｏｕｒｉｅｒ变换域的滤波技术推广到唧域中．

（２）数字水印：２００１年Ｄｊｕｒｏｖｉｃ等【１６Ｊ首次将咖应用于数字水印，这种水印灵活性更好．其后的一些改进算法【１７，１８］进一步增强了唧域数字水印的鲁棒性．

（３）雷达、声呐：这些系统中常用的ｃｈｉｒｐ信号在ＦＲＦＦ域中具有良好的时频聚焦性．Ａｋｅｙ等ｕ９Ｊ利用ＦＲＦＴ实现了ｃｈｉｒｐ信号的检测算法．其后出现多种基于ＦＲＦｒ的ｃｈｉｒｐ信号检测算法１２０，２１１．

（４）通信系统：将ＯＦＤＭ系统中Ｆｏｕｒｉｅｒ变换替换为ＦＲＦＦ，可获得更好的效果，尤其在抗载波频率误差方面．２００１年Ｍａｒｔｏｎｅ［＝］首先用ＤＦＲＦＹ替代多载波系统中的ＤＦｒ．文献［２３］用ＦＲＦｒ实现了ＭＩＭＯ系统中的ＭＳＥ

万方数据

接收机，提高了对ｃｈｉｒｐ信号的接收灵敏度．

（５）图像压缩：２００１年Ｙｅｔｉｋ等ⅢＪ尝试将ＦＲＦＴ应用于图像压缩中；其后，Ｖｉｊａｙａ等∞Ｊ结合ＦＲＦＩ＇和分层树技术进行压缩编码，压缩率高于传统压缩方法；２０１１年石大明等嘶Ｊ、Ｓｉｎｇｈ等［刀］提出了基于ＦＲＦＦ的图像压缩方法，进一步推进了ＦＲＦＦ在图像压缩上的应用．

（６）模式识别：１９９６年ｌ＿ｏｈｍａｎｎ等旧Ｊ首次将ＦＲＦｒ用于滤波系统辨识中，识别效果有明显改善；其后，Ｂａｒ．

ｓｈａｎ等旧。于２００２年将唧作为神经网络输人的预处

理，能明显减少分类识别的误差；２００６年Ｊｉｎｇ等［３０２将ＦＲＹｒ成功应用于人脸识别的特征提取阶段；２００９年张永亮等【３１１利用ＦＲＦｒ将语音处理中的ＭＦＣＣ推广到分数形式，提高了说话人识别率．

３分数阶微积分（ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＣａｌｃｕｌｕｓ，ＦＣ）

早在１６９５年，Ｉ＿ｅｉｂｎｉｚ就提出了ＦＣ问题．ＦＣ是描述分维空间的基础工具，能用于复杂系统的描述［１Ｉ．在Ｆ℃定义中，最早得到公认、最常用的是Ｒｉｅｒｒｍｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｅ定义［３２，３３］，即

ＤＴ［ｔｏ，ｓ㈤Ｊ＝嚣（ｒ‰“刚）

＝喜（赢习￡（ｔ－ｒ）ｎ－ｖ－Ｉ一ｄ护、１１（ｎ一移）ｊＩ＾

７

Ｓ㈩ｄｒ），¨心叫’

移∈Ｒ＋

（４）

其中，ｓ（ｔ）为函数，ｚ。为微积分下限，Ｄ为微分算子，，为积分算子，”为分数阶数，ｎ为大于种的最小正整数，

ｒ（ ）为ｙ函数，ｒ（ｔＪ）＝ｌ。ｅ－‘￡（”～）ｄｔ，ｔ，∈Ｒ．该ＦＣ

定义不便于计算机实现，于是有了由整数阶微分的差分近似递推并求极限得到的Ｇｒｍｎｗａｌｄ．Ｌｅｍｉｋｏｖ定义［蚓，

即

．Ｌ警ｊ

联［ｆ。，ｓ（ｆ）］＝ｌｉｒａｉ’７∑ｋ＝Ｏ（一１）‘∞（￡一胁），移Ｅ

Ｒ

（５）

式中，Ｌ ｊ是向下取整运算，Ｇ为组合数，其定义为供

＝Ｆ瓦；Ｓ轰‰．由于积分和微分可交换，１９６７

年Ｃａｐｕｔｏ给出了先微分ｎ次，再积分ｎ－Ｕ次的ＦＣ定

义［３５，３６］

硝‰ｓ㈤］＝露叫‰嚣㈧刚］

一１１（ｎ—ｔＪ）ｊ