从离散到连续——分数阶信号处理的理论、方法(3)

２２８４电子（ｃ）当”为非负整数时，Ｆｃ退化为传统的整数阶微积分；（ｄ）信号的分数阶微积分可以看作将信号经过一线

性时不变滤波器，该滤波器传递函数为ａ。，（甜）＝Ｉ∞卜ｅｘｐ（ｊ等ｓ舭（叫））；（ｅ）从通信调制的角度，ＦＣ的物理意

义可解释为：幅度随”阶幂指数变化，相位是数字频率∞的广义Ｈｉｌｂｅｒｔ变换．

Ｆｃ在语音／图像处理、模式识别、通信信道建模、生

物医学信号处理、时间序列分析、电化学信号处理、经济数据分析等方面都有成功的应用［３７，３８Ｊ。例如，李远禄等旧』在滤波器设计中引进ＦＣ，使其逼近效果更好；Ｍａｒ－ｇｉｎ等［鲫Ｊ发现ＦＣ阶次取值的小数位有效位数的无规律性可用于数字水印中；蒲亦菲等Ｈ１ｊ基于ＦＣ提取图像的边缘信息．ＦＣ应用在系统辨识和建模时需要求解ＦＣ方程．目前分数阶常微积分方程求解的可行方法有：（１）

Ｌａｐｌａｃｅ变换法Ｌ４２Ｊ，其利用了Ｃａｐｕｔｏ定义式的Ｌａｐｌａｃｅ变

换形式，可不受状态变量影响；（２）状态空间法ｍ’４３Ｊ，该算法表达简单，但当状态变量较多时计算量大．而分数阶偏微分方程求解更为复杂，涉及到边界条件、初值条件等ｍｊ问题．目前，ＦＣ代表性的快速算法有基于Ｇｒｕｍｗａｌｄ－Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义的数值算法、幂级数数值算法、傅里叶级数数值算法、基于子波变换的数值算法等［３６，３７］．ＦＣ具有很多好的特性，例如：能在加强高频信息的同时保留低频信息；抗噪性能强；与整数阶微积分相比，相位不是恒定的±等，能提取更多的相位信息，因此其在信号处理中对分析“非××”信号的应用将会更加广泛．

４

分数阶系统（Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ＯｒｄｅｒＳｙｓｔｅｍ，

ＦｏＳ）

ＦＯＳ是由非整数阶微积分方程描述的动态系统．时域ＦＣ方程经Ｌａｐｌａｃｅ变换可得到分数阶传递函数．作为特例，同元次分数阶系统（即各分数阶次为在（Ｏ，１）之间某个数口的整数倍）传递函数可定义为

叭

黼

鞋驴

㈤

分数阶系统的研究目前主要集中在：

（１）ＦＯＳ的物理实现：目前主要研究１／２阶模拟分抗电路（任意阶ＦＣ模拟分抗电路可用１／２阶的组合实现）．Ｓｏｒｉｍａｃｈｉ等∽ｊ提出了经典的１／２阶树型模拟分抗电路，如图１所示，其中乙、乙可为普通的无源电阻、电容或电感；周激流等Ｉｓ６』提出了改进的两回路串联的１／２阶模拟分抗电路、胃型１／２阶模拟分抗电路以及网格型１／２阶模拟分抗电路；Ｂｏｈａｎｎａｎ研制的‘ｆａｃｔｏｒ’分数

万方数据

学报

２０１２年

阶元件‘４６１可直接搭建分数阶系统

●－。●●●一

‘‘＋’‘。＿一

●●，●’●一

， ｔ －Ｊ

…’’’。１

…。Ｌ

Ｊ一

图１

１／２阶树型模拟分抗电路

（２）Ｆｏｓ稳定性研究：式（７）中Ｈ（ｓ）不是ｓ的有理函数，故ＦＯＳ的稳定性分析相对复杂．王振滨等［４７，４ｓｊ推导出分数阶线性时不变系统的两个稳定性判据：分数阶Ｎｙｑｕｉｓｔ判据和分数阶对数频率判据，避免了求取闭环特征根；李元凯等［４９Ｊ提出的扩展频域法能直观判断任意阶次系统的稳定性．

（３）分数阶随机信号产生：分数阶随机信号是具有长相关性、局部相关性、重尾分布的随机信号，典型如人体生理信号等．蒲亦非∞］使用模拟分抗电路模仿产生了环杓后肌神经电脉冲信号‘，能正确地模仿真实的生物神经冲动．

（４）ＦＯＳ辨识：Ｈａｒｔｌｅｙ等将连续阶分布的概念用于ＦＯＳ的辨识中∞¨．由于ＦＯＳ时域表达式复杂，相关研究集中在频域辨识方法上．例如，彭程等【５２１给出了一种基于模拟退火和线性最小二乘的频域辨识算法．

ＦＯＳ可视为整数阶系统的推广，它能更准确地描述现实世界中的物理系统．ＦＯＳ可用来模拟产生实际中的随机信号，有利于对“非××”信号的分析处理．

５分数低阶统计量（Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ＬｏｗｅｒＯｒｄｅｒ

Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ。网∞Ｓ）

数学家Ｌｅｖｙ于１９２５年提出了ａ稳定分布．为准确地描述非高斯脉冲信号，１９９３年Ｓｈａｏ等［５３］将口稳定分布引入到信号处理领域．＆稳定分布的概率密度函数（ＰＤＦ）没有封闭表达式，只能通过特征函数声（ｔ）定义

声（ｔ）＝ｅｘｐ／Ｊｍ一７ｌｔＩ。［１＋ｊｐｓｇ．（ｔ）叫（ｔ，乜）］｝（８）

其‰㈠儿｛淼黑？鲁毗ｇｎ，＝

ｒ

１，

ｆ＞０

｛０，ｔ＝０，口∈（０，２］为特征指数，ａ值越小，其脉冲

Ｉ

Ｌ一１．￡＜０

特性越显著，特别地，ａ＝２时该分布就是高斯分布；口∈［一ｔ，１］为对称参数，用于确定分布的斜度，口＝０对应于对称ａ稳定（＆Ｓ）分布；ｙ∈［０，∞）为分散系数，可度