同济大学线性代数第六版答案(8)

(5)1

22

1 1 000 00 10

00 01a x a a a a x x x n n n +⋅

⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---Λx n a 1x n

1

a n 1x a n

证明 用数学归纳法证明

当n

2时

2121

221a x a x a x a x D ++=+-= 命题成立

假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即 D n

1

x n

1

a 1 x n

2

a n 2x a n

1

则D n 按第一列展开

有

1 1

1

00 100 01

)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n xD n

1

a n x n a 1x n 1

a n 1x a n

因此 对于n 阶行列式命题成立

6 设n 阶行列式D det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转 依次得

n

nn

n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1

1112 n nn

n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

11

113 a a a a D n n

nn ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

证明D

D D n n 2

)1(21)

1(--== D 3

D

证明 因为D det(a ij ) 所以